Mathematische Grundlagen für Betriebswirte
9. Aufl. 2013
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3 Logarithmenrechnung
3.1 Darstellung
3.1.1 Begriff
Das Logarithmieren ist eine zweite Umkehrung der Potenzrechnung.
Beim Potenzieren sind die Basis und der Exponent bekannt. Gesucht ist der Potenzwert.
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22 = ? | |
oder | an = ? |
Beim Wurzelziehen sind Potenzwert und Exponent bekannt. Gesucht ist die Basis.
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(?)3 = 8 | ? | 3√8 = ? | |
oder | (?)n = b | ? | n√b = ? |
Beim Logarithmieren sind Potenzwert und Basis bekannt. Gesucht ist der Exponent.
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2? = 8 | |
oder | a? = b |
Gesucht ist der Exponent, mit dem man die Basis 2 potenzieren muss, um 8 zu erhalten, oder allgemein, gesucht ist der Exponent n, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um b zu erhalten. In der Logarithmenschreibweise sieht das folgendermaßen aus:
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2? = 8 | ? | log2 8 = ? | |
oder | a? = b | ? | loga b = ? |
D 1
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loga b = x | ↔ | ax = b | a, b > 0 |
a ≠ 1 | |||
Der Logarithmus von b zur Basis a ist der Exponent x, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. | |||
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loga a = 1 | da wegen D 1 gleichbedeutend mit a1 = a |
loga 1 = 0 | da wegen D 1 gleichbedeutend mit a0 = 1 |
loga(ax) = x | da wegen D 1 gleichbedeutend mit ax = ax |
B 1
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log4 16 = 2 | 42 = 16 |
B 2
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log3 27 = 3 | 33 = 27 |
3.1.2 Logarithmensysteme
Die Logarithmen mit gleicher Basis bilden zusammen ein Logarithmensystem. Als Basis können alle positiven Zahlen außer 0 und 1 auftreten....