Mathematische Grundlagen für Betriebswirte

Lösungen zur Testklausur 2

Aufgabe 1

1. ZEITSTRAHL

   K₂₀ = Wert der Sparleistung zum Zeitpunkt 20

   g = Wert der jährlichen Sparleistung

2. 1. Schritt: Ermittlung von K₂₀

   K₂₀ = 12000 · 

   (1 + 0,07)5 – 1

   0,07(1 + 0,07)5

   K₂₀ = 12000 · 4,1001974

   K₂₀ = 49202,37

   K₂₀ = 12000 · 4, 1001974

   K₂₀ = 49202,37

   2. Schritt: Ermittlung von g

   g = 49202 37 · 

   0,07

   (1 + 0,07)20 – 1

   g = 49202,37 · 0,0243929

   g = 1200,19

   Die erforderliche Sparleistung der Eltern beträgt 1200 € pro Jahr.

Aufgabe 2

1. y′ = 24x² + 

   8

   3

   x + 5

2. y′ = –12x^–5 = –

   12

   x5

3. y′ = 

   20

   3 · 6√x

   S. 368

Aufgabe 3

1. Tabelle in neuem Fenster öffnen

   y =	0
   1 2 x2N – 4x2N + 8x =	0	| Ausklammern von x
   xN( 1 2 x2N – 4xN + 8) =	0	| Nullsetzen der Faktoren
   xN1 =	0
   1 2 x2N – 4xN + 8 =	0
   x2N – 8xN + 16 =	0
   xN2 =
   xN2 =	4

2. Tabelle in neuem Fenster öffnen

   y′ =	0
   3 2 x2E – 8xE + 8 =	0	| ÷  3 2
   x2E –  16 3 xE +  16 3  =	0
   xE1,2 =
   xE1,2 =	16 6  ±  8 6
   xE1 =	4
   xE2 =	4 3
   y″≠	0
   y″ =	3x – 8
   y″(4) =	4 > 0		→ Minimum
   y″( 4 3 ) =	–4 < 0		→ Maximum

3. Tabelle in neuem Fenster öffnen

   x	–1,0	0	1	4 3	2	3	4	5
   y	–12,5	0	4,5	4,74	4	1,5	0	2,5

S. 369

Aufgabe 4

1. Umsatzfunktion

   U(x) = 7x

   Grenzumsatzfunktion

   GU = 

   dU

   dx

    = 7

   Grenzkostenfunktion

   GK = 

   dK

   dx

    = 

   1

   5

   x

2. An der Nutzenschwelle/-grenze gilt: U = K

   Tabelle in neuem Fenster öffnen

   7x0 =	1 10 x20 + 100	| – 7x0
   0 =	1 10 x20 – 7x0 + 100	| · 10
   0 =	x20 – 70x0 + 1000
   x01,2 =
   x01,2 =	35 ± 15
   x01 =	20
   x02 =	50

   Die Nutzenschwelle liegt bei 20 Stück, die Nutzengrenze bei 50 Stück.S. 370

3. Tabelle in neuem Fenster öffnen

   x

   0

   10

   20

   30

   35,0

   40

Aufgabe 5