Die Klägerin ist Trägerin des Seniorenhauses N-heim in Bad N. Sie begehrt im Rahmen eines Überprüfungsverfahrens (§ 44 SGB X) die Verpflichtung der Beklagten zur Übernahme (höherer) ungedeckter Heimpflege- und Unterkunftskosten für die Bewohnerin I X (im Folgenden: Leistungsberechtigte) als Hilfe zur stationären Heimpflege nach dem SGB XII. Streitig sind im Anschluss an einen Teilunterwerfungsvergleich im Berufungsverfahren noch Leistungen für den Monat Oktober 2007.